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By Klaus Jänich

ISBN-10: 3540588787

ISBN-13: 9783540588788

ISBN-10: 3662057042

ISBN-13: 9783662057049

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Man macht dazu einen "Potenzreihenansatz" , d. h. überlegt, welche Bedingungen die Koeffizienten ao' a" a2 , ••• erfüllen müssen, um eine Funktion der gewünschten Art hervorzubringen, und oft genug ist die Suche nach solchen Koeffizienten viel einfacher als das Problem in seiner ursprünglichen Form. - Wie immer das auch im einzelnen aussehen wird, eines ist klar: Man braucht eine Methode, mit der man den Konvergenzradius einer gegebenen (z. B. ) Potenzreihe feststellen kann. Hier sind vier solche Methoden zur Bestimmung des Konvergenzradius von 1.

N gute Eigenschaften hat. Das Zauberwort aber hieß GLEICHMÄSSIGE Konvergenz. Sie erinnern sich an Sätze über "Limes und Stetigkeit", "Limes und Integral", "Limes und Ableitung" und jedesmal spielte die Gleichmäßigkeit gewisser Konvergenzen die Hauptrolle. e-Streifen Grenzfunktion I o i I ! b Figur 58 a. Erinnerung an den Begriff gleichmäßige Konvergenz: Zu jedem e > 0 gibt es ein no, so daß für jedes n ~ no gilt: I/n(x) - I(x) I< e für alle x zugleich, oder anschaulich: In verläuft ganz im e-Streifen um die Grenzfunktion Figur 58b.

Insbesondere gilt r = 0 immer dann, wenn der Hauptteil nur endlich viele von Null verschiedene Summanden hat: a -N a I:azn=~+~+ n~ -I Z n '---v---' Z2 endlicher Hauptteil, "überall" (außer bei z = 0) konvergent, r = 0 Von einer Laurentreihe mit solchem Hauptteil sagt man, sie habe bei 0 einen Pol. Die letzte Betrachtung in diesem Kapitel soll den Stammfunktionen von Laurentreihen gewidmet sein, sie ist ein erster Vorbote des Residuenkalküls. - Vielleicht würden Sie ja nicht gleich Verdacht schöpfen, wenn ich so nebenbei behaupten würde: Stammfunkti0nen von Laurentreihen bildet man einfach gliedweise ...

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Analysis für Physiker und Ingenieure: Funktionentheorie, Differentialgleichungen, Spezielle Funktionen by Klaus Jänich


by Paul
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