Jean-Robert Belliard's Algèbre générale PDF

By Jean-Robert Belliard

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Autrement dit B laisse fixe la dernière colonne de M’ et permute les autres colonne comme B. Alors on a AM B = T ∗ ∗ 0 0 C . Alors C est une matrice à n − r lignes et une colonne et chaque ligne de C sera de la forme ai Xi . Ces lignes de C fournissent une base de F ⊥ , c’est-à-dire un système 41 fondamental d’équation pour F en remplaçant les Xi par les e∗i dans chaque ligne de C. En effet les colonnes de T donnent une base de F , la colonne de Xi n’est rien d’autre qu’une façon de garder en mémoire les opérations effectuée sur les lignes de M .

Soit f une forme bilinéaire symétrique et q sa forme quadratique associée, alors f (x, y) = q(x + y) − (q(x) + q(y)) 2 Démonstration. Exercice. 7 Une forme bilinéaire f est dite anti-symétrique lorsque ∀x, y ∈ E, f (x, y) = −f (y, x). 8 Une forme sesquilinéaire f est dite alternée lorsque ∀x ∈ E, f (x, x) = 0. 9 Si f est une forme bilinéaire anti-symétrique et si k n’est pas de caractéristique 2, alors f est alternée. Démonstration. Puisque f est anti-symétrique on a f (x, x) = −f (x, x) et il suit 2f (x, x) = 0 pour tout x de E.

En général pour montrer l’égalité F = (F ⊥ )0 on procède par l’absurde et on suppose l’existence d’un x ∈ ((F ⊥ )0 \ F ). Soit F une base de F , et B une base de E qui complète F ∪ {x}. Alors la forme linéaire x∗ relative à la base B appartient à F ⊥ mais ne s’annule pas sur x : cela contredit x ∈ (F ⊥ )0 . Cela démontre 5. Soit ϕ ∈ G. Alors pour tout x ∈ G0 on a ϕ(x) = 0 et donc ϕ ∈ (G0 )⊥ . D’où l’inclusion 6. 5. Soit G le sous espace de k N engendré par les e∗i . 1) En dimension fini on peut identifier E à son bidual.

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Algèbre générale by Jean-Robert Belliard


by Charles
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