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By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540339418

ISBN-13: 9783540339410

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre commutative, septième Livre du traité, introduit deux notions fondamentales en algèbre commutative, celle d entier algébrique et celle de valuation, qui ont de nombreuses functions en théorie des nombres et en géometrie algébrique. It traite également des anneaux de Krull ou de Dedekind. Il comprend les chapitres: 1. Entiers; 2. Valuations; three. Diviseurs.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une réimpression de l édition de 1965.

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Example text

En effet, dans le cas général, A est isomorphe au quotient d'une telle algèbre A' par un idéal ai; notons a; l'image réciproque de aj dans A' et soient xf(1 ,< i ,< r) des éléments de A' vérifiant les conditions de l'énonce pour l'anneau A' et la suite croissante d'idéaux ai c a: c - . -c ab. Alors les images xi des xf dans A pour i > h(0) vérifient les conditions voulues; c'est évident pour la condition b), et pour la condition a) cela résulte du $ 1, no 1, prop. , xi) E d n B', en posant B' = yx:, .

Y,]. Montrons que les y; sont algébriquement indépendants sur A; en effet, si on a Ilne relation de la forme 2 a,y? . y$ = O avec a, E A pour tout p, + alxfi . xi. - O dans S-lB, I> on en déduit . +~~~ P dans k ; par hypothèse, on a donc ab = O pour tout pl d'où a,, = O pour tout p. En outre, dans l'anneau B[s-l], chacun des z j / l est entier sur B1[s-l] ( 5 1, no 2, prop. 2), et comme zj/l = (zi/l)(l/s) dans B[s-l], on voit que les zj/l sont entiers sur B1[s-l], ce qui achève la démonstration ( $ 1, no 1, prop.

Réciproquement, si ces deux conditions sont vérifiées, et s i en outre pnAPe = O, L est contenu dans Kz. n n>O ' (i) Si % est le sous-groupe de $ laissant invariants les éléments de L, il est clair que le groupe de décomposition (resp. d'inertie) de p' par rapport à L est $Y n $6 (resp. , chap. V, 5 10, mi0 6, cor. 1 du th. 3); dans le cas général, elle découle de ce que AL (resp. AT) est réunion des AZ(p' n K a ) (resp. AT($ n Ka)) avec les notations de la Remarque 2 : tout élément x E K' appartient à uni n 3% (resp.

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Algèbre commutative: Chapitres 5 à 7 by N. Bourbaki


by George
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